Mathématiques et démocratie :
le vote à la loupe

L'édition 2022 de la conférence Mathématiques en mouvement, accessible aux étudiants dès la licence ou la 1ère année de CPGE, a eu lieu le samedi 11 juin 2022 de 9h à 18h en amphithéâtre Hermite de l'Institut Henri Poincaré (11 rue Pierre et Marie Curie 75005 Paris), sur le thème Mathématiques et démocratie : le vote à la loupe. Elle était organisée sous la houlette de Rida Laraki, directeur de recherche CNRS au LAMSADE.

Orateurs invités

Anna Bogomolnaïa (CNRS, CES)
Steve Kremer (LORIA)
Jérôme Lang (CNRS, LAMSADE)
Rida Laraki (CNRS, LAMSADE)
Hervé Moulin (Univ. de Glasgow, PSE, CES)
Friedrich Pukelsheim (Univ. d’Augsburg)
Chloé Ridel (présidente de l'association Mieux Voter)

Programme

9h00 : Accueil du public

9h15 : Allocutions d'ouverture des organisateurs

9h30 : L'analyse formelle du vote et les fondements mathématiques de la démocratie, par Hervé Moulin (Univ. de Glasgow, PSE, CES)

10h10 : Représentation équitable des circonscriptions géographiques et des partis politiques : Double proportionnalité, par Friedrich Pukelsheim (Univ. d’Augsburg)

10h50 : Pause café

11h10 : Vote aléatoire, par Anna Bogomolnaia (CNRS, CES)

11h50 : Pause déjeuner

14h : Règles de vote : calcul, communication, vérification, par Jérôme Lang (CNRS, LAMSADE)

14h40 : Comment voter par Internet en toute sécurité ... ou pas ?, par Steve Kremer (LORIA)

15h20 : Pause café

15h40 : Le jugement majoritaire en théorie et en pratique, par Rida Laraki (CNRS, LAMSADE)

16h20 : Table ronde avec Steve Kremer (LORIA), Hervé Moulin (Univ. de Glasgow, PSE), Friedrich Pukelsheim (Univ. d’Augsburg) et Chloé Ridel (présidente de l'association Mieux Voter), animée par Rida Laraki (CNRS, LAMSADE)

17h50 : Fin de la journée

Résumés, diapositives et vidéos des interventions

Introduction de la journée par Isabelle Gallagher, directrice de la FSMP, et Rida Laraki (CNRS, LAMSADE), coordinateur scientifique de la conférence

L'analyse formelle du vote et les fondements mathématiques de la démocratie, par Hervé Moulin (Univ. de Glasgow, PSE, CES)

Quelques années avant la Révolution de 1789, Nicolas de Condorcet et Jean Charles de Borda débattent du choix de la procédure de vote dans une assemblée démocratique: le premier propose de suivre l'opinion de la majorité, le second demande a chaque électeur de distribuer des notes aux candidats le long d'une échelle arithmétique. Le modèle que Kenneth Arrow introduit en 1951 propulse cette question au cœur des mathématiques pour les sciences sociales, et confirme le rôle central qu'y occupent ces deux règles de vote.
Trois théorèmes au centre de l'analyse du "Choix Social" seront expliqués et (en partie) démontrés: les résultats -- dits "d'impossibilité" -- sur l'agrégation des préférences et le vote stratégique, la caractérisation axiomatique de la méthode de Borda et celle, stratégique, du vote majoritaire.

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Représentation équitable des circonscriptions géographiques et des partis politiques : Double proportionnalité, par Friedrich Pukelsheim (Univ. d’Augsburg)

Pour les élections législatives, de nombreux pays subdivisent leur territoire en circonscriptions. La double proportionnalité permet d'attribuer des sièges parlementaires aux circonscriptions régionales proportionnellement à leur population et, simultanément, aux partis politiques proportionnellement à leurs suffrages. L'exposé passera en revue les origines et les mathématiques de la double proportionnalité, sa réalisation dans les cantons suisses et son potentiel pour l'élection du Parlement européen.

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Vote aléatoire, par Anna Bogomolnaia (CNRS, CES)

Dans les environnements de vote traditionnels, « le gagnant prend tout », et il n’y a pas de compensation pour les agents qui ont voté pour perdre des candidats. On peut remédier à cette tyrannie de la majorité en introduisant des procédures de « vote aléatoire ». Les agents votent et, sur cette base, une répartition entre les candidats est choisie.
Il peut s’agir d’une véritable randomisation (nous lançons une pièce pour choisir qui fait une tâche désagréable), ou d’un temps partagé (chacun de nous peut profiter d’un prix une fraction de temps). Ou il peut s’agir d’un résultat « fractionné », spécifiant des parts budgétaires dans le budget de différents projets, ou en nombre de sièges dans un organe directeur attribué à différentes parties.  
De plus, lorsqu'on permet le vote aléatoire, le paradoxe de Condorcet disparaît. Nous présentons la règle aléatoire de la « loterie maximale » qui sélectionne toujours le gagnant de Condorcet, et discutons de ses propriétés.

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Règles de vote : calcul, communication, vérification, par Jérôme Lang (CNRS, LAMSADE)

Une règle de vote est une fonction qui prend en entrée les préférences des électeurs, et donne en sortie un candidat (ou un sous-ensemble de candidats) élu(s). Mais la définition de la règle ne spécifie pas comment le calcul du résultat est effectué, ni comment on interagit avec les électeurs pour obtenir suffisamment d'information en entrée pour être capable de calculer le résultat, ni comment on peut vérifier que le résultat donné est bien correct. Je parlerai de ces trois questions, en les illustrant avec des règles de vote à vainqueur unique ou multiple, et, si le temps le permet, en mentionnant un ou deux problèmes ouverts.

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Comment voter par Internet en toute sécurité ... ou pas ?, par Steve Kremer (LORIA)

Dans notre monde de plus en plus numérique le vote papier peut donner l'impression d'un anachronisme. Et régulièrement la question de le remplacer par une version électronique se pose. Mais comment peut-on garantir la sécurité d'un vote par Internet entièrement dématérialisée ? Est-ce que mon vote reste secret, alors que je l'envoie à un serveur ? Est-ce que le résultat annoncé à la fin est vraiment correct ? Nous expliquerons comment des techniques cryptographiques peuvent répondre à ces défis et quelles sont ses limites ? Nous évoquerons également des techniques pour prouver formellement les garanties offertes par un tel protocole cryptographique : un tableau ni blanc, ni noir, mais avec beaucoup de nuances de gris.

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Le jugement majoritaire en théorie et en pratique, par Rida Laraki (CNRS, LAMSADE)

Le jugement majoritaire est une récente méthode de vote qui demande aux électeurs de juger chaque candidat dans un language commun de mentions telles que « Excellent, Très Bien, Bien, Passable, Insuffisant, à Rejeter ». L’exposé présentera les fondements mathématiques du jugement majoritaire et quelques leçons de son utilisation en pratique et notamment son expérimentation à l’élection présidentielle de 2022, l’élection de quelques 3000 représentants locaux de LaREM en 2020, et la Primaire Populaire de 2022. L’exposé finira par quelques extensions et questions ouvertes.

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Table ronde animée par Rida Laraki, avec l'ensemble des intervenants