Plan du cours

• Semaine du 19/01 : Introduction de quelques problèmes à frontière libre et théorie de la régularité pour les équations elliptiques sous forme divergentielle.

• Semaine du 26/01 : Surfaces minimales et surfaces de courbure moyenne prescrite : régularité des surfaces minimales, introduction à la théorie des fonctions à variations bornées. Applications aux problèmes des tubes capillaires.

• Semaine du 02/02 : Existence et régularité des solutions de quelques problèmes à frontière libre (problème de Bernoulli (et application aux gouttes d'eau), problème de l'obstacle et problème de Hele‑Shaw).

• Semaine du 09/02 : Homogenéisation de la condition de frontière libre pour ces problèmes.

• Semaine du 02/03 : Existence de solutions et homogénéisation pour deux problèmes à frontière libre modélisant l'évolution d'une goutte d'eau vers son équilibre, l'équation des films minces et le modèle quasi‑statique.

Résumé du cours

Un objectif de ce cours est la description mathématique d'une goutte d'eau en équilibre sur un plan. À travers ce problème, nous présenterons différents aspects de l'analyse mathématique des problèmes à frontière libre et des EDP elliptiques non‑linéaires :

• La première partie du cours sera consacrée à la régularité des équations elliptiques non‑linéaires, et en particulier à l'étude des surfaces minimales (la surface séparant l'eau de l'air étant essentiellement une surface minimale).
• La deuxième partie du cours portera sur le comportement de la ligne de contact (la ligne où eau, air et solide se rencontrent), ce qui nous conduira à étudier la régularité des problèmes à frontière libre.
• Dans une troisième partie, nous aborderons l'homogénéisation de ces problèmes à frontière libre. La dernière partie du cours concernera les problèmes d'évolution pour les gouttes d'eau.