Allocutions de bienvenue par Stéphane Jaffard et Olivier Serre

Ce que peut nous apprendre Fourier sur l'invention en mathématique, mais aussi sur l'enseignement relativement élémentaire, par Jean Dhombres (Centre Alexandre-Koyré, CNRS, EHESS)

Résumé : Si ma présentation se veut historique, en ce sens qu’elle est basée sur des textes de Joseph Fourier, des manuscrits aussi bien, elle a une forme assez universelle. Je cherche à établir comment Fourier expliquait son invention de la représentation des fonctions en séries aujourd’hui dites de Fourier, et prétendait que sa façon était la seule qu’un esprit positif pouvait envisager. Il a reproduit dans son gros ouvrage sorti en 1822 sur la Théorie analytique de la chaleur de longues pages de calcul qui pourraient être évitées, une fois connus les « modes propres » sur lesquels il s’explique. Il ne s’agit pas d’une manie d’auteur, mais d’un parti-pris épistémologique. Fourier ne cherche pas à faire « naturel », mais à suivre la « nature ». La pédagogie des mathématiques coïncide avec l’invention lorsqu’elle est bien menée. Fourier s’oppose donc au positivisme de Comte, pour lequel l’inventeur est toujours mauvais pédagogue, et il faut pour enseigner adopter un dogmatisme et un formalisme. Comme les séries de Fourier ne sont pas au programme d’un enseignement de lycée, la tentative de Fourier, même aujourd’hui, questionne la façon d’aborder des choses nouvelles. 

Trois variations sur l’analyse de Fourier, par Patrick Flandrin (Laboratoire de Physique de l'ENS Lyon)

Résumé : Si Fourier nous a appris que « toute » fonction peut se représenter mathématiquement comme une superposition d’ondes monochromatiques éternelles, nombre de signaux naturels peuvent se décrire physiquement comme une superposition d’oscillations pas forcément harmoniques, d’existence éventuellement transitoire et dont le contenu spectral peut varier dans le temps. Donner un sens à de telles variations sur l’analyse de Fourier a conduit au développement de nombreuses méthodes dont le dénominateur commun est de faire usage de descriptions conjointes en temps et en fréquence. On en rappellera les principes généraux (qu’est-ce qu’une fréquence instantanée ? comment écrire la partition d’un signal ?) et on détaillera quelques résultats récents s’appuyant sur des principes de localisation, de parcimonie et de décompositions pilotées par les données.

De la transformée de Fourier en échantillonnage compressé, par Claire Boyer (LPSM, Sorbonne Université, ENS Paris)

Résumé : Des signaux réels tels que le son ou les images peuvent être représentés à l'aide de la transformée de Fourier : au lieu de représenter un son ou une image dans les domaines respectivement temporel ou spatial, on peut les représenter dans le domaine fréquentiel. Pour une fréquence donnée, on "mesure donc la quantité d'oscillation à cette fréquence" dans le signal de départ. On constatera qu'après altération de l'information dans le domaine fréquentiel, il peut être difficile de revenir dans le domaine spatio-temporel, c'est ce que l'on appelle le problème de repliement de spectre et que tout le monde a déjà expérimenté au moins une fois dans sa vie (notamment lors d'un visionnage de scène de film dans laquelle une voiture roule...)
Or dans de nombreux systèmes d'acquisition de signaux tels que l'imagerie par résonance magnétique (IRM), les observations sont faites dans le domaine de Fourier / des fréquences, mais sont souvent partielles. Nous verrons qu'il est possible de reconstruire parfaitement une image même si nous n'avons à disposition que peu d'observations dans le domaine de Fourier ! C'est un résultat typique de la communauté dite du compressed sensing ou de l'échantillonnage compressé.

Quelques questions autour des séries de Fourier, par Céline Esser (FNRS, Département de Mathématiques de l'Université de Liège)

Résumé : L'étude des séries de Fourier a motivé le développement de concepts importants de l'analyse au XIXe siècle, avec notamment la théorie de l'intégration et la théorie des ensembles, et pose encore aujourd'hui de nombreuses questions. Dans cet exposé, nous présenterons quelques problèmes classiques liés aux séries de Fourier. En particulier, nous étudierons leur convergence et leur divergence, et nous nous pencherons sur les problèmes liés à l'unicité du développement.

Joseph rencontre Albert, par Eric Chassande-Mottin(Laboratoire AstroParticules et Cosmologie, CNRS, Université Paris Diderot)

Résumé : Si la rencontre de Joseph Fourier et d'Albert Einstein était impossible, elle a cependant eu lieu à travers leurs travaux notamment sur la diffusion, de la chaleur ou des particules. Une autre intersection, moins directe, est l'utilisation de l'analyse harmonique en tant qu'un outil mathématique essentiel pour la recherche des ondes gravitationnelles, dont Einstein a prédit l'existence en 1918. Dans cette présentation, nous illustrerons comment l'analyse de Fourier et les différentes représentations des signaux qui en découlent interviennent dans l'extraction du faible signal gravitationnel observé par les détecteurs Advanced LIGO et Virgo.

De la décomposition de Fourier à l'analyse sonore et musicale : démonstration d'une représentation spectrale à alignement chromatique, par Thomas Hélie (CNRS / Laboratoire des Sciences et Technologies de la Musique et du Son, IRCAM-CNRS-SU)

Résumé : Cet exposé revisite deux outils introduits par Fourier, en prenant le point de vue de l'analyse sonore dans un contexte musical.
>Avec ses séries, Fourier apporte une représentation d'une note idéale parfaitement harmonique et accordée. Avec sa transformée, il apporte un moyen de sonder le timbre d'un son plus général, par son spectre. Cette notion a d'ailleurs inspiré un courant musical: la musique spectrale. L'approche temps-fréquence confère à ces outils une forme adaptée pour représenter la musique et examiner les caractérisitiques inharmoniques ou non statiques de notes jouées par des musiciens.
On présentera une application de visualisation temps-réel construite à partir de ces outils, de post-traitements simples et d'une représentation graphique sur une échelle adaptée aux hauteurs musicales. Avec cette application, on illustrera sur une large variété de sons, comment les outils de Fourier permettent d'appréhender en pratique les notions de hauteur, de décomposition harmonique, d'inharmonicité, d'accordage, mais aussi pour les musiciens, de tempérament et du travail de l'intonation musicale.

Table ronde avec Jean Dhombres, Céline Esser, Patrick Flandrin et Thomas Hélie, modérée par Edouard Thomas (Tangente).