Autour de la conjecture L2 en Relativité Générale

Jérémie Szeftel est le lauréat 2009 du Prix de la Fondation. A ce titre, il a dispensé le Cours de la Fondation Sciences Mathématiques de Paris, un cours de niveau master sur ses recherches. Son thème était : Autour de la conjecture L2 en Relativité Générale. Les séances se sont tenues à l'annexe du Collège de France, 3 rue d'Ulm, 75005 Paris.

Cours en ligne

Les séances du cours de Jérémie Szeftel sont également disponibles en ligne sur l'espace Dailymotion de la Fondation. Cliquez ici pour les voir

On commence par rappeler les 3 étapes naturelle qui permettraient de prouver la conjecture de courbure L2. La deuxième étape est maintenant bien comprise et a fait l'objet des cours 4 à 9.

Dans ce cours, on évoque les 2 autres étapes. La troisième étape concerne les estimations bilinéaires sur les espace‑temps courbes solutions des équations d'Einstein. Une première estimation a été montrée par S. Klainerman et I. Rodnianski. On rappelle la preuve de cette estimation bilinéaire. On explique ensuite pourquoi celle‑ci n'est pas suffisante, et on évoque par analogie aux équations de Yang‑Mills une autre estimation bilinéaire qui reste à montrer.

Dans une deuxième partie, on s'intéresse à la première étape de la preuve de la conjecture de courbure L2 qui est pour l'instant ouverte. L'idée est d'exhiber la structure nulle des équations d'Einstein de manière plus explicite que par l'intermédiaire des identités de Bianchi. Pour cela, on rappelle brièvement la structure nulle des équations de Yang‑Mills introduite au cours 3. Ensuite, on explique comment réécrire les équations d'Einstein sous une forme similaire à Yang‑Mills, et on discute du problème du choix de jauge.

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