Mathématiques en mouvement 2024 : Systèmes dynamiques

La prochaine édition de Mathématiques en mouvement aura lieu le samedi 16 novembre 2024 de 14h à 19h à l'IHP (11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5e).

Organisée sous la houlette de Pierre-Antoine Guihéneuf (IMJ-PRG, SU) et Jérôme Buzzi (LMO, Univ. Paris-Saclay), elle sera l'occasion d'aborder les systèmes dynamiques.

Cette année, la manifestation se placera sous le parrainage de la SMF. Elle bénéficie également du partenariat du séminaire Mathematic Park.

La conférence Mathématiques en mouvement est accessible aux étudiant•e•s dès la licence.

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Orateurs et oratrices

• David Aubin (IMJ-PRG, SU)
• Pierre Berger (IMJ-PRG, CNRS)
• Anna Florio (CEREMADE, Université Paris Dauphine-PSL)
• Charles Fougeron (LAGA, USPN)
• Sébastien Gouezel (IRMAR, Université de Rennes)
• Elise Janvresse (LAMFA, Université de Picardie Jules Verne)
• Frédéric Le Roux (IMJ-PRG, SU)
  
  

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Programme

14h Allocutions d'accueil

14h10 : Cinq fois où Poincaré a flirté avec le chaos, par David Aubin (IMJ-PRG, SU)

14h40 : Le théorème ergodique de Birkhoff
, Ou comment les probabilités surgissent du chaos, par Elise Janvresse (LAMFA, Université de Picardie Jules Verne)

15h10 : Résonances dans les nombres réels, par Charles Fougeron (LAGA, USPN)

15h40 : Les dynamiques sauvages de la lumière, par Pierre Berger (IMJ-PRG, CNRS)

Vidéos

Allocutions d'ouverture par Béatrice de Tillère (Professeurr à l'Université Paris Dauphine, PSL, CEREMADE et directrice de la FSMP) et Jérôme Buzzi (LMO, Univ. Paris-Saclay), coordonnateur scientifique.

Cinq fois où Poincaré a flirté avec le chaos, par David Aubin (IMJ-PRG, SU)
Henri Poincaré est reconnu comme le père fondateur de la théorie des systèmes dynamiques et de l’observation cruciale que dans certains systèmes la dépendance aux conditions initiales est une propriété générale. Pourtant, le développement de ce domaine des sciences mathématiques n’explose que plus de cinquante ans après sa mort. Comment expliquer ce décalage? Dans cet exposé, je suggérerai que les différentes façons sont Poincaré anticipe, si l’on peut dire, les développements ultérieurs ne sont conçues comme un tout même pour lui-même.

Le théorème ergodique de Birkhoff
, Ou comment les probabilités surgissent du chaos, par Elise Janvresse (LAMFA, Université de Picardie Jules Verne)
A l’intersection des probabilités et de la dynamique, la théorie ergodique est un domaine de recherches toujours actif depuis sa création dans les années 1930 sous l’impulsion de John von Neumann et George Birkhoff. L’évolution dans le temps d’un système est souvent modélisée par une transformation T agissant sur l’ensemble des états du système. La théorie ergodique s’intéresse au cas où la probabilité que le système soit dans un état donné est constante — on dit : invariante au cours du temps. Nous présenterons le théorème de Birkhoff qui dit que, lorsque le système est ergodique, la moyenne temporelle de nos observations est égale presque partout à la moyenne spatiale : heuristiquement, si on s'intéresse à la croissance d'un arbre en fonction du temps, cela revient à considérer qu'il est similaire d'observer un arbre tout au long de sa vie (moyenne temporelle) que d'observer la forêt à un instant donné (moyenne spatiale).
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Résonances dans les nombres réels, par Charles Fougeron (LAGA, USPN)
En physique, on dit que deux systèmes mécaniques entrent en résonance lorsqu'ils influent l'un sur l'autre par leur fréquence.
Souvent, on observe la résonance à travers la fréquence propre d'un ressort, d'un trampoline ou d'un pont.
Mais dans certains systèmes physiques (par exemple en mécanique céleste ou en musique), les multiples rationnels des fréquences apparaissent, et il devient alors essentiel, pour les appréhender, de comprendre l'organisation des nombres rationnels au sein des nombres réels.
Nous aborderons un modèle mathématique simple sur les nombres réels qui permet de comprendre ces phénomènes de résonance de manière visuelle.
Cela nous mènera à définir le nombre d'or comme le nombre le moins résonant et à interpréter sa présence dans certains phénomènes naturels.



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Les dynamiques sauvages de la lumière, par Pierre Berger (IMJ-PRG, CNRS)
Une balade dans le monde fascinant des dynamiques sauvages, à travers des expériences en images autour de phénomènes intrigants.
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Assistants de preuve et systèmes dynamiques, par Sébastien Gouëzel (IRMAR, Université de Rennes)
Les assistants de preuve sont un nouvel outil dans l'attirail du mathématicien moderne, dans lequel on explique à un ordinateur des concepts et des démonstrations, dans un langage intermédiaire entre un langage de programmation et le formalisme mathématique. Je présenterai mon expérience personnelle de dynamicien utilisateur de ces outils, et parlerai de leurs limitations actuelles et des perspectives futures, notamment à l'interface avec l'intelligence artificielle.
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Tourner autour d'un tore, par Frédéric Le Roux (IMJ-PRG, SU)
Parmi les premiers systèmes dynamiques étudiés par Henri Poincaré figurent les flots sur le tore (la surface en forme de bouée), qui proviennent de transformations du plan qui se répètent périodiquement horizontalement et verticalement. Michał Misiurewicz et Krystyna Ziemian ont introduit en 1989 l'ensemble de rotation, une partie convexe et bornée du plan qui décrit la façon dont les trajectoires s'enroulent autour du tore. Plus de trente ans après, de nombreuses questions restent ouvertes, en particulier concernant la forme que peut avoir cet ensemble.
Ces questions ont été renouvelées très récemment par l'introduction du graphe fin des courbes, qui fait le lien entre ces systèmes dynamiques et la géométrie hyperbolique.
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La dynamique des billards, entre intégrabilité et chaos, par Anna Florio (CEREMADE, Université Paris Dauphine-PSL)
Un billard mathématique est une région fermée du plan (la table) à l'intérieur de laquelle un point (la boule) se déplace en ligne droite avec vitesse constante. Quand la boule rencontre le bord de la table, elle rebondit de façon élastique. Peut-on étudier l'évolution du mouvement de la boule dans le temps ? Nous allons essayer de comprendre quelques propriétés de ce système dynamique.
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